概率论和数理统计急救指南

概率论部分

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB) 无论AB什么关系都能用
P(B|A) = P(AB)/P(A) 条件概率
P(A!B) = P(A) - P(AB) 好用
一些奇怪的交和并怎么拆，一般看实际情况想一想，是不是有包含关系
m次中恰有1次xx、n次yy这种，如果是逐个分配且分配完了就不用乘C（每次都是Cn1的情况下）。如果没有分配完，比如存在恰有n(n>=1 && n < m)次xxx，就需要指定是m次中的哪n次，乘C；或者二项分布，虽然分配完了，但是其中n次不明确是哪n次，也需要乘C。另外二项分布一定要把所有的项都乘上。

离散性随机变量：0-1分布B(1,p)，二项分布B(n,p)（n次实验，一次概率为p），泊松分布π(λ)（期望和方差都是λ）。
泊松分布：P{X=k} = e^(-λ) * λ^(k) / k!
概率分布函数 F(x)是X<=x的概率。
连续型随机变量：概率密度函数f(x) 在(a,b)上的积分是a<=X<=b的概率。
连续型随机变量：均匀分布U(a,b)，正态分布N(μ,σ)，指数分布E(λ).
正态分布：P{ X < b } = Φ( (b-μ)/σ )， P{ a < X < b } = Φ( (b-μ)/σ ) - Φ( (a-μ)/σ )，大于就用1-!P。常用Φ考试会给。
指数分布：f(x) = λe^(-λx) (x>0)；F(x) = 1 - e^(-λx) (x>0)

会出很多大题！

总体是正态分布的时候，矩估计值=极大似然估计值。
矩法：根据参数个数列出一阶或二阶方程（就是X和X方的期望），注意由于这里数据已知，期望方差等全部是已知；根据方程解出未知参数，用样本矩A(期望)和B(方差)来表示。
极大似然法：X~f(x,θ)，似然函数L(θ)=∏f(x,θ)；对上式两边取对数,求导,令dlnL/dθ = 0，解出参数。或者用单调性判断也可以。
E(θ^)=θ，则称θ^为θ的无偏估计量；θ1^,θ2^是两个无偏估计量，若D(θ1^)<D(θ2^)，则称θ1比θ2有效；θn^是θ的一串估计量，若对任意ε有lim P(|θn^-θ|>ε)=0，则称θn^是θ的一致估计量/相合估计量。
θL^<θU^,且P{θL^<θ<θU^}>=1-α，则(θL^,θU^)为θ的置信水平为1-α的置信区间，θL^和θU^分别成为置信下限和置信上限。
上式等号成立时的区间称为同等置信区间。
求解同等置信区间：枢轴量法
µ的置信区间：σ^2已知；σ^2未知；成对数据。
σ^2的置信区间：µ未知。
µ1-µ2：σ1^2、σ2^2已知；σ1^2=σ2^2未知。
σ1^2/σ2^2：µ1，µ2未知。
表还是要背一下的

检验规则：关键是求|样本X均值-µ|>=C的阈值C
提出原假设H0和备择假设H1，两类错误：α,拒绝了一个真实的原假设；β，接受了一个错误的原假设。
如何求C：α(C)使用条件概率公式展开，两边除以σ/sqrt(n)，转化为正态分布概率分布，用Φ表达（含C），使用给定的显著水平α(0.01,0.05,0.10等)，解出C。
根据奈曼-皮尔逊原则，求出拒绝域W中的临界值。根据W和X-比较，决定拒绝还是接受原假设。
方法二：计算最小显著水平：P_：原假设H0为真的时候，检验统计量取比观察到的结果更为极端的数值的概率。计算检验统计量的观测值和P_值，P_越小，拒绝H0的理由越充分。P_<=α拒绝原假设。根据给定的显著水平α作出判断。
第一种方法关键是用已知的µ，σ和n计算Z，和给定α的Z作比较。第二种方法关键是算出P_，和给定的α作比较。
表还是要背一下的，虽然都是方法一